萝卜皮的营养价值超过萝卜肉本身

是由三个顶点，以及联结顶点的三条光滑的边构成的。

再用一次测地线的存在唯一性，存在唯一弧长参数化测地线。由测地线的存在唯一性，存在唯一弧长参数化测地线。由测地线的存在唯一性，存在唯一弧长参数化测地线。由ODE解对初值的连续性可以证明。线都是弧长参数化测地线，并且。点附近的正则参数较困难。属于单位圆周紧致，从而。

只需再说明上述方程组的解仍是弧长参数化曲线即可。可将其化为一阶常微分方程组。从而测地线具有存在唯一性。等距变换保持测地曲率，从而保持测地线。显然曲面上的直线一定是测地线。由于平行不改变向量的长度，所以。由协变导数在自然标架下的公式可知，的拟线性常微分方程组，引入新变量。上的一条弧长参数化曲线。显然这等价于单位切向量。

注意测地曲率可以是负的。从而曲率、法曲率、测地曲率满足。分解为切向和法向的两部分，即。上的一条弧长参数化曲线。回顾曲线的曲率和法曲率，的右手系正交活动标架。

上任意两条相交曲线，

充分性显然，下证必要性。

的任意性，(反证法可证)有相同的第一基本形。

合同变换是等距变换，反之等距变换不一定是合同变换 (例如把平面卷成圆柱是等距变换但不是合同变换，因为不保持第二基本形)这说明，曲面之间的双射等价于参数区域上的(光滑)双射表示。通常不区分这两种表示。如果对于一个任意曲线。,并且假设它们都是微分同胚。

诱导出了两个曲面对应点处切空间的线性映射。

的情况,则在此非脐点附近取正交活动标架。为全脐点曲面——平面的一部分；为全脐点曲面——球面的一部分；利用结构方程容易计算得到。可以看到标架运动方程化为。

是平面或者球面的一部分。充分性显然，下证必要性。两式求偏导数再相减，得到。是全脐点曲面当且仅当。是全脐点曲面，设其在。

Weingarten变换在自然基下的系数矩阵为。相似变换不改变矩阵的特征值、行列式、迹。的特征值是主曲率，行列式是Gauss曲率，都是一阶微分形式，所以可以用。是Weingarten在基。

正交活动标架的运动方程设S:r(u,v),(u,v)∈DS:r(u,v),(u,v)\in DS:r(u,v),(u,v)∈D是曲面，{r:ru,rv,n}\{r:r_u,r_v,n\}{r:ru?,rv?,n}是自然标架。由Gram-Schmidt E交化，取e1=ru∣ru∣,e2=rv??rv,e1?e1∣rv??rv,e1?e1∣e_1=\frac{r_u}{|r_u|},e_2=\frac{r_v-\langle r_v,e_1\rangle e_1}{|r_v-\langle r_v,e_1

的第一基本形和第二基本形相同，则存在唯一的刚体运动。若由其确定的Gauss-Codazzi方程在。上的光滑函数构成的对称正定矩阵。使得其第一第二基本形由。定义在同一个参数区域。

的指标具有(反)对称性：(1,2)指标反对称、(3,4)指标反对称、(12,34)指标对称。特定情况下，还有正交标架下的Gauss绝妙定理，可以大幅简化计算量。乘以Gauss方程的左端，可见Riemann记号只依赖于第一基本形。由Riemann记号的(反)对称性，不妨令指标。的（反）对称性不依赖Gauss方程而总成立。通过复杂的计算可以验证，Riemann记号。得到Gauss方程唯一的独立方程为。,就可以算出Riemann记号。,从而可以算出Gauss曲率。仅依赖于曲面的第一基本形。

此条件下Codazzi方程的等价形式指的是。,验证Codazzi方程的等价形式。曲面的Codazzi方程是指。计算它们的外微分，有。

IIII。

解：球面r(u,v)=(acos?ucos?v,acos?usin?v,asin?u)\mathbf{r}(u,v)=\left(a\cos u\cos v,a\cos u\sin v,a\sin u\right)r(u,v)=(acosucosv,acosusinv,asinu),相应的ω1=aduω2=acos?udv\omega_1=a\mathrm{d}u\\\omega_2=a\cos u\mathrm{d}vω1?=aduω2?=acosudv求其外微分得dω1=0dω2=?asin?udu∧d

这就找到了球面的一组正交活动标架。

分别证明分子和分母与正交标架e1,e2\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2e1?,e2? 的选取无关，若证明了这两点，则可得结论。注意ω12=(de1,e2)\omega_{12}=(\mathbf{de}_1,\mathbf{e}_2)ω12?=(de1?,e2?),若有另一组正交标架f1=a11e1+a12e2,f2=a21e1+a22e2\mathbf{f}_1=a_{11}\mathbf{e}_1+a_{12}\mathbf{e}_2,\mathbf{f}_2=a_{21}\mathb

并求相应的诸微分形式。

可以作为曲面的第一、第二基本形式？

求曲面，它的第一、第二基本形式分别为。这就满足第一基本型的所有条件。这就满足第二基本型的所有条件。假定该曲面的参数方程是。

两个满足Gauss-Codazzi方程的二次微分形式在局部定义一张正则参数曲面。给定曲面的第一、第二基本形式，问是否存在相应的曲面。因而问题归结为验证Gauss-Codazzi方程。本题的情况都是选择正交曲率线网为参数曲线网的情况。故不存在符合要求的曲面。故不存在符合要求的曲面。关于这个问题最好的结论被称为。这是曲面的存在性问题。为第一、第二基本形式？问是否有曲面，分别以。都有简单漂亮的形式。

平均曲率为常数的曲面，要么是全脐点曲面，要么它的第一、第二基本形式可以表示为。正则曲面非脐点附近有参数选取，使得参数曲线构成正交的曲率线。假设已经这样选取，由正交曲率线网下的Codazzi方程。

证：回忆Codazzi方程：{?b11?u2??b12?u1=?b2δΓ11δ+b1δΓ12δ?b21?u2??b22?u1=?b2δΓ21δ+b1δΓ22δ\left.\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial b_{11}}{\partial u^2}-\frac{\partial b_{12}}{\partial u^1}=-b_{2\delta}\Gamma_{11}^\delta+b_{1\delta}\Gamma_{12}^\delta\\\frac{\parti

解：已知第一基本形式，求Christoffel符号。原则上只需要写出(gij)(g_{ij})(gij?)就可以造出Christoffel符号了，所以也仅需要第一基本形式。由Γαβγ=12gγξ(?gαξ?uβ+?gβξ?uα??gαβ?uξ){\Gamma_{\alpha\beta}^{\gamma}=\frac12g^{\gamma\xi}(\frac{\partial g_{\alpha\xi}}{\partial u^\beta}+\frac{\partial g_{\beta\xi}}{\part

是曲面的活动标架，称为自然标架。进一步可以做Gram-Schmidt正交化得到正交活动标架。这说明曲面一定存在正交活动标架。是Weingarten变换在自然基下的系数矩阵，依赖于第一基本形和第二基本形。称为曲面的Christoffel符号，仅依赖于曲面的第一基本形及其逆矩阵。处处是正交标架，称为正交活动标架。一般默认右手系的活动标架。的切 (法)向量，称为切 (法)向量场。的偏导用自然标架线性表出，待定系数如下做内积。上的一个 (右手系的) 活动标架。上的一个向量场，如果对任意。

使用Einstein约定可简化符号计算：如果一个单项中同一个指标作为上标下标同时出现，则代表对该指标进行求和。排成矩阵，正好对应第一基本形的系数矩阵，记。排成矩阵，正好对应第二基本形的系数矩阵，记。第一基本形可以表示成。第二基本形可以表示成。由Gauss记号，有。

再计算右式的Christoffel符号，再依据二阶情形逆矩阵的等价关系。修改系数就得到结论。

上曲率线满足的微分方程.反过来，其积分曲线是曲率线。上的曲率线满足的微分方程为。是曲率线当且仅当沿着。

是一个无脐点的曲面的参数表示.证明：曲面。, 坐标切向量是相互正交的主方向当且仅当。在该点的一个主方向，证明：曲线。是 曲 率 线 当 且 仅 当。事实上，这里也证明了对任意曲面。不相等(这是因为曲面无脐点).常数是曲率线的充要条件是。在每点的切向量都是曲面。是曲率线当且仅当沿着。的参数曲线是曲率线，则。的参数曲线是曲率线.

由于上面等式两边是关于不同变量的函数，故它们只能为同一常数，记为。的极小曲面，若非平面，则除相差一个常数外，它可以写成。此曲面称为 Scherk 曲面.显然，它有参数表达式。

的像集. 而这正是单位球极投影坐标参数式的像集。的平均曲率和 Gauss 映射的像集.的合成的像集，即是映射。的像集，等于映射 r。

直纹面是可展曲面当且仅当沿着直母线，曲面的切平面不变.沿着直母线，曲面的切平面不变。

此小邻域内每点都是严格抛物点(非平点), 只沿一个方向法曲率为 0. 故其中一族参数曲线是曲率线且是渐近线.的附近脐点的轨迹至多是一些曲线，不能决定曲面的形状。上每点都在曲面上的一条直线上且所有这些直线过定点，因此，这族曲率渐近线的切方向都过同一定点。对应于两个主方向量场，在更小的邻域内，是非脐点，则在它的一个小邻域内，(对应的参数曲线是正交曲率线)由过定点的直线构成，是锥面.在此邻域内是平面的一部分.若。的高度函数的极小值点，故直线。是脐点，则它是平点.若存在。不存在这样的邻域，则在。

然 后 , 经 过 参 数 变 换。不为常向量，即：它是一条曲线。的弧长参数，其 Frenet 标架为。,则由式-(14)中第三式，有。由式-(14) 中第一式，有。由式-(14)中第二式，有。在某个平面上.而由假设，不能为常向量), 故。是其(主)法向量，故。是一个单位圆.可以设。

证明：直接计算，有ru=(cos?v,sin?v,0),?rv=(?ucos?v,usin?v,b),?n=1u2+b2(bsin?v,bcos?v,u).\mathbf{r}_u=(\cos v,\sin v,0),\:\mathbf{r}_v=(-u\cos v,u\sin v,b),\:\mathbf{n}=\frac{1}{\sqrt{u^2+b^2}}(b\sin v,b\cos v,u).ru?=(cosv,sinv,0),rv?=(?ucosv,usinv,b),n=u2+b2?1?(bsin

有 参 数 表 达 式。, 不 妨 设 在 点。有 显 式 表 达。的第一、二基本形式。

柱面 : ruvfuguv;解：由ru?f′ug′u0rv?001有E?ru?ru??f′u2g′u2F?ru?rv??0G?rv?rv??1.故第一基本形式Iuvf′u2g′u2du2dv2由ru?∧rv?g′u?f′u0有nf′u2g′u2?1?g′u?f′u0而ruu?。